Matemática básica Ejemplos

$\frac{y + 7}{y^{2} - y - 12} - \frac{2}{y^{2} - 9}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} - y - 12$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{2}{y^{2} - 9}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{2}{y^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 3$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 4) (y + 3) (y - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ por $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{(y + 7) (y - 3)}{(y - 4) (y + 3) (y - 3)} - \frac{2}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y - 4}{y - 4}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2}{(y + 3) (y - 3)}$ por $\frac{y - 4}{y - 4}$ .

$\frac{(y + 7) (y - 3)}{(y - 4) (y + 3) (y - 3)} - \frac{2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(y - 4) (y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y + 7) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)} - \frac{2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y + 7) (y - 3) - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(y + 7) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (y - 3) + 7 (y - 3) - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 7 (y - 3) - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 7 y + 7 \cdot - 3 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot - 3 + 7 y + 7 \cdot - 3 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 \cdot y + 7 y + 7 \cdot - 3 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 7 y - 21 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 3 y$ y $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 4 y - 21 - 2 (y - 4)}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} + 4 y - 21 - 2 y - 2 \cdot - 4}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{y^{2} + 4 y - 21 - 2 y + 8}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.5

Resta $2 y$ de $4 y$ .

$\frac{y^{2} + 2 y - 21 + 8}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$

Paso 6.6

Suma $- 21$ y $8$ .

$\frac{y^{2} + 2 y - 13}{(y + 3) (y - 3) (y - 4)}$